Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3;1; - 1} \right)\), bán kính \(R = 2\).

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {2; - 1;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;2} \right)\)

Xét mặt phẳng thiết diện đi qua tâm \(I\), điểm \(M,N\) và cắt \(d\) tại \(H\).

Khi đó \(d\left( {I,d} \right) = IH\).

Ta có: \(\overrightarrow {IA} = \left( { - 1; - 2;2} \right)\).

\(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 6;6;3} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {I,d} \right) = IH = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IA} ,\overline {{u_d}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{{( - 6)}^2} + {6^2} + {3^2}} }}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 3\).

\( \Rightarrow IH = 3,IM = IN = R = 2 \Rightarrow MH = \sqrt {I{H^2} - I{M^2}} = \sqrt {{3^2} - {2^2}} = \sqrt 5 \)

Gọi \(O\) là trung điểm của \(MN\). Khi đó:

\(MO = \frac{{MH.IM}}{{IH}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{3} \Rightarrow MN = 2MO = \frac{{4\sqrt 5 }}{3}\).

Do đó ta chọn đáp án sau

þ \(a\) và \(b\) nguyên tố cùng nhau.

þ Một trong hai số là số chính phương.