Gọi hoành độ tiếp điểm là \({x_0}\).

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_0} = x_0^3 + 3x_0^2 - 6{x_0} + 1}\\{y'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 + 6{x_0} - 6}\end{array}} \right.\).

Phương trình tiếp tuyến \({\rm{\Delta }}\)

\(y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) hay \(y = \left( {3x_0^2 + 6{x_0} - 6} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 + 3x_0^2 - 6{x_0} + 1\)

Mà \(M\left( {0;1} \right) \in {\rm{\Delta }}\) nên \(\left( {3{x_0}{\;^2} + 6{x_0} - 6} \right)\left( {0 - {x_0}} \right) + {x_0}^3 + 3{x_0}^2 - 6{x_0} + 1 = 1\)

\( \Leftrightarrow - 2{x_0}^3 - 3{x_0}^2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 0}\\{{x_0} = - \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\).

Thế \({x_0} = 0,{x_0} = - \frac{3}{2}\) vào phương trình tiếp tuyến ta được \({{\rm{\Delta }}_1}:y = - 6x + 1,\,\,{{\rm{\Delta }}_2}:y = - \frac{{33}}{4}x + 1\).

Do đó ta điền như sau

Cho đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) là tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right):y = {x^3} + 3{x^2} - 6x + 1\) sao cho \({\rm{\Delta }}\) đi qua điểm \(M\left( {0;1} \right)\).

Điền số thích hợp vào chỗ trống:

Khi đó, có 2 đường thẳng Δ thỏa mãn yêu cầu bài toán.