Ta thấy \(M\left( {1;0;0} \right)\) là một điểm thuộc \(\left( P \right)\).

Vì \(\left( P \right)//\left( Q \right)\) nên

\(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 10} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 4\).

Giả sử \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm của \(\left( S \right)\).

Vì \(\left( S \right)\) tiếp xúc với cả \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nên bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(R = \frac{{d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)}}{2} = \frac{4}{2} = 2\).

Do đó \(IA = 2\) nên I luôn thuộc mặt cầu \(\left( T \right)\) tâm A, bán kính 2.

Ngoài ra, \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2a - b - 2c - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {2a - b - 2c + 10} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow \left| {2a - b - 2c - 2} \right| = \left| {2a - b - 2c + 10} \right| \Leftrightarrow 2a - b - 2c - 2 = - \left( {2a - b - 2c + 10} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2a - b - 2c + 4 = 0\).

Do đó, I luôn thuộc mặt phẳng \(\left( R \right):2x - y - 2z + 4 = 0\).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên \(\left( R \right)\). Vì A, \(\left( R \right)\) cố định nên H cố định.

Ta có \(AH = d\left( {A,\left( R \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 2 - 2.1 + 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{3}\).

Mà \(AH \bot \left( R \right) \Rightarrow AH \bot HI\), do đó \(\Delta AHI\) vuông tại H nên

\(HI = \sqrt {A{I^2} - A{H^2}} = \sqrt {{2^2} - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\).

Vậy I luôn thuộc đường tròn tâm H, nằm trên mặt phẳng \(\left( R \right)\), bán kính \(r = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\). Chọn A.