Phương trình \(9{z^2} + 6z + 1 - m = 0\)\(\left( * \right)\) có \(\Delta ' = 9 - 9\left( {1 - m} \right) = 9m\).

Xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1. \(\left( * \right)\) có nghiệm thực \( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 0\).

Khi đó, \(\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = - 1\end{array} \right.\)

+) \(z = 1 \Rightarrow m = 16\) (thỏa mãn).

+) \(z = - 1 \Rightarrow m = 4\) (thỏa mãn).

Trường hợp 2. \(\left( * \right)\) có nghiệm phức \(z = a + bi\left( {b \ne 0} \right) \Leftrightarrow \Delta ' < 0 \Leftrightarrow m < 0\).

Nếu z là một nghiệm của phương trình \(9{z^2} + 6z + 1 - m = 0\) thì \(\bar z\) cũng là một nghiệm của phương trình \(9{z^2} + 6z + 1 - m = 0\).

Ta có \(\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = 1 \Leftrightarrow z.\bar z = 1 \Leftrightarrow \frac{{1 - m}}{9} = 1 \Leftrightarrow m = - 8\) (thỏa mãn).

Vậy tổng các giá trị thực của m bằng 12. Chọn B.