Do \(\cos x + 2 > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\).

Ta có \(y = \frac{{m\sin x + 1}}{{\cos x + 2}} \Leftrightarrow m\sin x - y\cos x = 2y - 1\).

Do phương trình có nghiệm nên

\({m^2} + {y^2} \ge {\left( {2y - 1} \right)^2} \Leftrightarrow 3{y^2} - 4y + 1 - {m^2} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{2 - \sqrt {3{m^2} + 1} }}{3} \le y \le \frac{{2 + \sqrt {3{m^2} + 1} }}{3}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của y bằng \(\frac{{2 - \sqrt {3{m^2} + 1} }}{3}\).

Do đó yêu cầu bài toán tương đương

\(\frac{{2 - \sqrt {3{m^2} + 1} }}{3} < - 1 \Leftrightarrow 3{m^2} + 1 > 25 \Leftrightarrow {m^2} > 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\sqrt 2 \\m < - 2\sqrt 2 \end{array} \right..\)

Vì m là giá trị nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 5;5} \right]\) nên \(m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3;3;4;5} \right\}\). 

Vậy có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.