Gọi F là trung điểm của BC.

Xét \(\Delta ABC\) có E; F lần lượt là trung điểm của AC; BC

\( \Rightarrow \) EF là đường trung bình của \(\Delta ABC\).

\( \Rightarrow \)\[EF//AB \Rightarrow \left( {AB,DE} \right) = \left( {EF,DE} \right)\].

Ta có \[AB \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow EF \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow EF \bot FD\] (vì \(FD \subset \left( {BCD} \right)\)).     

\( \Rightarrow \Delta EFD\) vuông tại F do đó \(\left( {EF,DE} \right) = \widehat {FED}\).

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot BC\\CD \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow CD \bot AC\) hay \[\Delta ACD\] vuông tại C.

Xét tam giác vuông ECD có

\[ED = \sqrt {E{C^2} + C{D^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{AC}}{2}} \right)}^2} + C{D^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {a^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\].

Xét \(\Delta EFD\) vuông tại \(F\) có \(\cos \widehat {FED} = \frac{{EF}}{{ED}} = \frac{{AB}}{{2ED}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {FED} = 60^\circ \).

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và DE bằng \(60^\circ \). Chọn D.