Ta có \({I_1}{I_2} = 5 > {R_1} + {R_2} = 3 \Rightarrow \) Mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) và \(\left( {{S_2}} \right)\) ngoài nhau.

Khi đó, \({I_1}A \bot d,{I_2}B \bot d \Rightarrow {I_1}A//\;{I_2}B\).

Ta có: \({I_1}I_2^2 = {\left( {\overrightarrow {{I_1}A} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B{I_2}} } \right)^2} = R_1^2 + A{B^2} + R_2^2 + 2\overrightarrow {{I_1}A} .\overrightarrow {B{I_2}} \)

\( \Rightarrow A{B^2} = 20 + 2\overrightarrow {{I_1}A} .\overrightarrow {{I_2}B} = 20 + 2.2.1.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {{I_1}A} ;\overrightarrow {{I_2}B} } \right)\)

Vậy \(A{B_{{\rm{max}}}} = 2\sqrt 6 \Leftrightarrow \overrightarrow {{I_1}A} \) cùng hướng với \(\overrightarrow {{I_2}B} \) và \(A{B_{{\rm{min}}}} = 4 \Leftrightarrow \overrightarrow {{I_1}A} \) ngược hướng với \(\overrightarrow {{I_2}B} \).

Do đó ta điền như sau

Giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng \(AB\) bằng 4.

Giá trị lớn nhất của đoạn thẳng \(AB\) bằng \(2\sqrt 6 \).