Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {1;2;3} \right)\); \(d\) có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1; - 2;1} \right)\) nên \(\overrightarrow {MN} .\vec u = 0\) suy ra \(MN \bot d\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(MN\) vuông góc với \(d\) có phương trình \(x - 2y + z - 2 = 0\).

Phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + t\\y = 3 - 2t\\z = 9 + t\end{array} \right.\).

Gọi \(E = d \cap \left( P \right)\). Suy ra tọa độ điểm E là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + z - 2 = 0\\x = 7 + t\\y = 3 - 2t\\z = 9 + t\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7 + t - 2\left( {3 - 2t} \right) + 9 + t - 2 = 0\\x = 7 + t\\y = 3 - 2t\\z = 9 + t\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 4}}{3}\\x = \frac{{17}}{3}\\y = \frac{{17}}{3}\\z = \frac{{23}}{3}\end{array} \right.\).

Vậy \(E\left( {\frac{{17}}{3};\frac{{17}}{3};\frac{{23}}{3}} \right)\).

Ta có: \(IM \ge EM;IN \ge EN \Rightarrow IM + IN \ge EM + EN\)

Để \(IM + IN\) nhỏ nhất thì điểm \(I \equiv E\) nên \(I\left( {\frac{{17}}{3};\frac{{17}}{3};\frac{{23}}{3}} \right)\).

Do đó ta chọn đáp án như sau