Áp dụng công thức tổng của cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = 1 + i\) và công bội \(q = 1 + i\) ta có

\[\overline z = 2 + i + {\left( {1 + i} \right)^2} + {\left( {1 + i} \right)^3} + .\,\,.\,\,. + {\left( {1 + i} \right)^{2019}}\]

\( = 1 + 1 + i + {\left( {1 + i} \right)^2} + {\left( {1 + i} \right)^3} + .\,\,.\,\,. + {\left( {1 + i} \right)^{2019}}\)

\( = 1 + \left( {1 + i} \right).\frac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{2019}}}}{{1 - \left( {1 + i} \right)}} = 1 + \frac{{1 + i - {{\left( {1 + i} \right)}^{2020}}}}{{ - i}}\)

\( = 1 + \frac{{1 + i - {{\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]}^{1010}}}}{{ - i}} = 1 + \frac{{1 + i - {{\left( {2i} \right)}^{1010}}}}{{ - i}}\)

\( = 1 + i\left( {1 + i + {2^{1010}}} \right) = i\left( {1 + {2^{1010}}} \right).\)

\( \Rightarrow z = - i\left( {1 + {2^{1010}}} \right).\)

Phần ảo của số phức \(z\) là \( - \left( {{2^{1010}} + 1} \right).\) Chọn D.