Gọi \(H\) là trung điểm \(CD\) nên tứ giác \(CHIJ\) là hình chữ nhật.

Khi cho tứ giác \(CKIJ\) quay xung quanh trục \(CK\) ta có:

Hình chữ nhật \(CHIJ\) tạo thành khối trụ có thể tích \({V_1}.\)

Tam giác \(IHK\) tạo thành khối nón có thể tích \({V_2}.\)

Suy ra: \(V = {V_1} + {V_2}.\) Ta có

\({V_1} = \pi .C{J^2}.CH = \pi {a^2}.\frac{a}{2} = \frac{1}{2}\pi {a^3},\,\,{V_2} = \frac{1}{3}\pi .H{I^2}.HK = \frac{1}{3}\pi {a^2}.HK.\)

Xét tam giác vuông \(IHC\) có \(IC = \sqrt {I{H^2} + H{C^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2};\)

\(\tan \widehat {ICH} = \frac{{IH}}{{CH}} = 2 \Rightarrow IK = IC.\tan \widehat {ICH} = 2.\frac{{a\sqrt 5 }}{2} = a\sqrt 5 \).

\( \Rightarrow HK = \sqrt {I{K^2} - I{H^2}} = \sqrt {5{a^2} - {a^2}} = 2a.\)

Do vậy \({V_2} = \frac{1}{3}\pi .H{I^2}.HK = \frac{1}{3}\pi {a^2}.2a = \frac{2}{3}\pi {a^3}.\)

Vậy \(V = {V_1} + {V_2} = \frac{1}{2}\pi {a^3} + \frac{2}{3}\pi {a^3} = \frac{7}{6}\pi {a^3}.\) Chọn B.