Ta có \(\Delta ANP\) cân tại \(A\), có \(AN = AP = x;NP = 90 - 2x\).

Điều kiện để \(x;x;90 - 2x\) là 3 cạnh của tam giác là:\(\left\{ \begin{array}{l}x + x > 90 - 2x\\90 - 2x > 0\\x > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 22,5 < x < 45\).

Ta thấy khối lăng trụ \(ANP.BMQ\) có chiều cao \(MN\) không đổi nên thể tích khối lăng trụ lớn nhất khi diện tích đáy \({S_{\Delta ANP}}\) lớn nhất.

Mà \(S = \sqrt {45\left( {45 - x} \right)\left( {45 - x} \right)\left( {45 - \left( {90 - 2x} \right)} \right)} = \sqrt {45\left( {45 - x} \right)\left( {45 - x} \right)\left( {2x - 45} \right)} \)

\( = \frac{1}{{45}}\sqrt {\left( {{{45}^2} - 45x} \right)\left( {{{45}^2} - 45x} \right)\left( {90x - {{45}^2}} \right)} \)

\( \le \frac{1}{{45}}\sqrt {{{\left( {\frac{{{{45}^2} - 45x + {{45}^2} - 45x + 90x - {{45}^2}}}{3}} \right)}^3}} \)

\( \le \frac{1}{{45}}\sqrt {{{675}^3}} = \frac{{{5^3}{{.3}^4}.\sqrt 3 }}{{45}} = 225\sqrt 3 \).

Dấu “=” xảy ra khi \({45^2} - 45x = 90x - {45^2} \Leftrightarrow x = 30\). Chọn A.