Ta có \({x^6} + 6{x^4} - {m^3}{x^3} + 13{x^2} - mx + 10 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 2} \right)^3} + \left( {{x^2} + 2} \right) \ge {\left( {mx} \right)^3} + \left( {mx} \right)\,\,\left( * \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + t \Rightarrow f'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0 \Rightarrow f\left( t \right)\) luôn đồng biến.

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {{x^2} + 2} \right) \ge f\left( {mx} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2 \ge mx\)

Do đó, \({x^6} + 6{x^4} - {m^3}{x^3} + 13{x^2} - mx + 10 \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right]\)

\[ \Leftrightarrow {x^2} + 2 \ge mx\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right] \Leftrightarrow x + \frac{2}{x} \ge m\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right]\,\, \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;4} \right]} \left( {x + \frac{2}{x}} \right) = 2\sqrt 2 \].

Mà \(m\) là số nguyên dương nên \(m \in \left\{ {1;2} \right\} \Rightarrow S = \left\{ {1;2} \right\}.\)