Người ta thiết kế một lọ sản phẩm đựng kem chống nắng với thiết kế là một khối cầu như một viên bi khổng lồ, một nửa là nắp hộp, nửa còn lại thiết kế bên trong là một khối trụ nằm nội tiếp nửa mặt cầu để đựng kem chống nắng. Theo dự kiến nhà sản xuất dự định để khối cầu có bán kính \(R = 3\sqrt 2 a\). Để đựng được nhiều kem nhất thì chiều cao của khối trụ là \(h = m\sqrt n a\) với \(m,n \in \mathbb{N}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. \(m + n = 6\).
Quảng cáo
1 câu trả lời 4


Giả sử chiều cao của khối trụ là \(OH = h{\rm{ }}\left( {0 \le h \le 3\sqrt 2 a} \right)\).
Ta có \(OM = R = 3\sqrt 2 a\), \(HM = \sqrt {18{a^2} - {h^2}} \).
Thể tích khối trụ là \[{V_1} = \pi {\left( {\sqrt {18{a^2} - {h^2}} } \right)^2}.h = \pi \left( {18{a^2} - {h^2}} \right).h\].
Xét hàm số \(y = \pi \left( {18{a^2} - {h^2}} \right).h\) trên \(\left[ {0;3\sqrt 2 a} \right]\)
\( \Rightarrow y' = \pi \left( {18{a^2} - 3{h^2}} \right) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow h = \sqrt 6 a\).
Ta có \(y\left( {\sqrt 6 a} \right) = 12\sqrt 6 {a^3}\pi \), \(y\left( 0 \right) = 0\), \(y\left( {3\sqrt 2 a} \right) = 0\).
Vậy \({V_1}\) lớn nhất khi \(h = \sqrt 6 a \Rightarrow m + n = 1 + 6 = 7\). Chọn D.
Quảng cáo
Bạn cần hỏi gì?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Đã trả lời bởi chuyên gia
106578 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
95982 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
74349

