Điều kiện: \({4^x} - {2^x} + m > 0\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \({4^x} - {2^x} + m > 0{\rm{ }}\left( * \right){\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\).

Đặt \(t = {2^x}\) với \(t > 0\), khi đó bất phương trình (*) trở thành:

\({t^2} - t + m > 0,{\rm{ }}\forall t > 0\)\( \Leftrightarrow {t^2} - t > - m,{\rm{ }}\forall t > 0\)\( \Leftrightarrow - m < \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} \left( {{t^2} - t} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - t,{\rm{ }}\forall t > 0\) ta có \(f'\left( t \right) = 2t - 1\); \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\).

Ta có bảng biến thiên

 Từ bảng biến thiên suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( t \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right) = - \frac{1}{4}\).

Để bất phương trình \({t^2} - t + m > 0,{\rm{ }}\forall t > 0\) thì \( - m < - \frac{1}{4} \Leftrightarrow m > \frac{1}{4}\). Chọn D.