Ta có \(180\;ml = 180\;c{m^3}\).

Gọi chiều dài của đáy hộp là x (cm), x > 0, khi đó chiều rộng của đáy hộp là \(\frac{2}{3}x\left( {cm} \right)\).

Gọi chiều cao của hộp chữ nhật là \(h\left( {cm} \right)\), \(h > 0\).

Ta có thể tích của khối hộp chữ nhật là \(V = x.\frac{2}{3}x.h = 180\left( {c{m^3}} \right) \Rightarrow h = \frac{{270}}{{{x^2}}}\left( {cm} \right)\).

Diện tích toàn phần của khối hộp chữ nhật là

\({S_{TP}} = 2.x.\frac{2}{3}x + 2.x.\frac{{270}}{{{x^2}}} + 2.\frac{2}{3}x.\frac{{270}}{{{x^2}}}\left( {c{m^2}} \right) = \frac{4}{3}{x^2} + \frac{{900}}{x}\left( {c{m^2}} \right) = f\left( x \right)\).

Yêu cầu bài toán trở thành tìm x dương để hàm số \(f\left( x \right) = \frac{4}{3}{x^2} + \frac{{900}}{x}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương \(\frac{4}{3}{x^2}\), \(\frac{{450}}{x}\), \(\frac{{450}}{x}\) ta có

\(\frac{4}{3}{x^2} + \frac{{450}}{x} + \frac{{450}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{4}{3}{x^2}.\frac{{450}}{x}.\frac{{450}}{x}}} \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 3\sqrt[3]{{270000}},{\rm{ }}\forall x > 0\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{4}{3}{x^2} = \frac{{450}}{x} = \frac{{450}}{x} \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt[3]{{2700}}}}{2} \approx 6,96\left( {cm} \right)\). Chọn D.