Ta có:

\[f'\left( {x + 2} \right) = {x^2} - 3x + 2 = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = \left( {x + 2 - 3} \right)\left( {x + 2 - 4} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = \left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)\].

Khi đó \(f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 4\end{array} \right.\).

Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 4x + 7} \right)\).

Ta có \[g'\left( x \right) = \left( {2x + 4} \right).f'\left( {{x^2} + 4x + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 4 = 0\\f'\left( {{x^2} + 4x + 7} \right) = 0\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\{x^2} + 4x + 7 = 3\\{x^2} + 4x + 7 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\{\left( {x + 2} \right)^2} = 0\\x = - 1\\x = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\].

Bảng xét dấu \[g'\left( x \right)\]

Dựa vào bảng xét dấu, hàm số \[y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 4x + 7} \right)\] đồng biến trên khoảng \[\left( {1; + \infty } \right)\]. Chọn C.