Ta có: \(\sin 2x - \cos 2x + \left| {\sin x + \cos x} \right| - \sqrt {2{{\cos }^2}x + m} - m = 0\)

\( \Leftrightarrow \sin 2x + \left| {\sin x + \cos x} \right| = m + \cos 2x + \sqrt {2{{\cos }^2}x + m} \)

\( \Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \sqrt {1 + \sin 2x} = 1 + m + \cos 2x + \sqrt {1 + m + \cos 2x} {\rm{ }}\left( * \right)\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {1 + \sin 2x} = a \ge 0\\\sqrt {1 + m + \cos 2x} = b \ge 0\end{array} \right.\).

Khi đó \(\left( * \right)\) trở thành \({a^2} + a = {b^2} + b{\rm{ }}\left( {**} \right)\)

Xét hàm số với \(f\left( t \right) = {t^2} + t,{\rm{ }}t \ge 0\).

Dễ thấy hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến \(\forall t \ge 0\) nên từ (**) ta có \(f\left( a \right) = f\left( b \right) \Leftrightarrow a = b\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {1 + \sin 2x} = \sqrt {1 + m + \cos 2x} \Leftrightarrow \sin 2x - \cos 2x = m\).

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow {m^2} \le 2 \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le m \le \sqrt 2 \).

Giá trị nguyên của tham số m là {-1; 0; 1}, vậy có 3 giá trị. Chọn C.