Xét bất phương trình:

\(m{.16^x} - \left( {2m + 1} \right){.12^x} + m{.9^x} \le 0 \Leftrightarrow m.{\left( {\frac{{16}}{9}} \right)^x} - \left( {2m + 1} \right).{\left( {\frac{{12}}{9}} \right)^x} + m \le 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\).

Đặt \(t = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^x}\). Với \(x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow t \in \left( {1;\frac{4}{3}} \right)\).

Khi đó bất phương trình trở thành \(m.{t^2} - \left( {2m + 1} \right).t + m \le 0 \Leftrightarrow m \le \frac{t}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}{\rm{ }}\left( 2 \right)\) .

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{t}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}\) trên khoảng \(\left( {1;\frac{4}{3}} \right)\) có \(f'\left( t \right) = - \frac{{t + 1}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^3}}} < 0,{\rm{ }}\forall t \in \left( {1;\frac{4}{3}} \right)\).

Khi đó bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {0;1} \right)\) Û bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi \(t \in \left( {1;\frac{4}{3}} \right) \Leftrightarrow m \le f\left( {\frac{4}{3}} \right) = 12\).

Vậy số các giá trị nguyên dương của m thỏa mãn bài toán là 12. Chọn C.