Đặt \(MA = MB = MC = a > 0\).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(MAB\) ta có:

\(A{B^2} = M{A^2} + M{B^2} - 2MA.MB.{\rm{cos}}\widehat {AMB} = {a^2} + {a^2} - 2a.a.{\rm{cos}}60^\circ = {a^2}\). Suy ra \(AB = a\).

Tương tự, ta cũng tính được \(BC = \sqrt 2 a,CA = \sqrt 3 a\).

Xét tam giác \(ABC\) có: \(C{A^2} = B{C^2} + A{B^2}\) suy ra tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) (định lí Pythagore đảo). Do đó trung điểm \(H\) của \(AC\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Suy ra \(M,H,I\) thẳng hàng.

Xét tam giác \(MCI\) vuông tại \(C\) đường cao \(CH\):

\(IC.MC = CH.MI\) suy ra \(IC = \frac{{CH.MI}}{{MC}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 a}}{2}.2\sqrt 3 }}{a} = 3\).

Do đó ta điền như sau

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 1;3} \right)\). Từ điểm \(M\left( {4;1;1} \right)\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\), kẻ ba tiếp tuyến \(MA,MB,MC\) với mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho \(MA = MB = MC\). Biết\(\widehat {AMB} = 60^\circ ,\widehat {BMC} = 90^\circ ,\widehat {CMA} = 120^\circ \). Bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng (1) 3.