Ta có \(\overrightarrow {AI} = \left( {1;5; - 4} \right)\), \(\overrightarrow {AH} = \left( {2;2;1} \right)\)nên \(\left[ {\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AH} } \right] = \left( {13; - 9; - 8} \right)\) là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) suy ra \(\left[ {\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AH} } \right]\) có giá vuông góc với đường thẳng BC.

Mà \(\overrightarrow {AH} \) có giá vuông góc với BC nên véc tơ chỉ phương của đường thẳng BC là

\(\vec u = \left[ {\overrightarrow {AH} ,\left[ {\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AH} } \right]} \right] = \left( { - 7;29; - 44} \right)\).

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của A qua I thì \(A'\left( {3;8; - 8} \right)\).

Ta có \(\Delta ACA'\) vuông tại C \( \Rightarrow A'C \bot AC\); H là trọng tâm \(\Delta ABC \Rightarrow BH \bot AC\).

\( \Rightarrow BH//A'C.\) Tương tự \(CH//A'B\).

\( \Rightarrow BHCA'\) là hình bình hành \( \Rightarrow \) BC đi qua trung điểm \(M\left( {3;4; - \frac{7}{2}} \right)\) của \(A'H\).

Do đó BC có phương trình là: \(\frac{{x - 3}}{{ - 7}} = \frac{{y - 4}}{{29}} = \frac{{z + \frac{7}{2}}}{{ - 44}}\). Chọn A.