Đặt \(t = \left| {\sin x - \cos x} \right| = \sqrt 2 \left| {\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right| \in \left[ {0;\sqrt 2 } \right]\).

\( \Rightarrow {t^2} = 1 - \sin 2x \Leftrightarrow \sin 2x = 1 - {t^2}\).

Phương trình đã cho trở thành \(t + 4\left( {1 - {t^2}} \right) = m \Leftrightarrow - 4{t^2} + t + 4 = m\)\(\left( * \right)\).

Phương trình đã cho có nghiệm thực \( \Leftrightarrow \) Phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm thực trên \(\left[ {0;\sqrt 2 } \right]\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = - 4{t^2} + t + 4\) trên \(\left[ {0;\sqrt 2 } \right]\).

Ta có \(f'\left( t \right) = - 8t + 1 \Rightarrow f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 8t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{8}\).

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \sqrt 2 - 4 \le m \le \frac{{65}}{{16}}\).

Do \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}\).

Vậy có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.