Gọi V là thể tích của khối lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\).

Gọi \({A_1}\), \({B_1}\), \({C_1}\) lần lượt là giao điểm của \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\) và mặt phẳng \(\left( {MNK} \right)\).

Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.{A_1}{B_1}{C_1}\) là: \({V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{1}{4}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{1}{4}V\).

Gọi \({V_1}\), \({V_2}\), \({V_3}\) lần lượt là thể tích của khối tứ diện \(A.{A_1}MK\), \(B.{B_1}MN\), \(C.{C_1}NK\).

Ta có:

+) \({V_1} = {V_{A.{A_1}MK}} = \frac{1}{3}.{S_{\Delta {A_1}MK}}.A{A_1} = \frac{1}{3}.\frac{1}{4}{S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}}.A{A_1}\)

          \( = \frac{1}{{12}}{V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{1}{{12}}.\frac{1}{4}V = \frac{1}{{48}}V\).

+) \({V_2} = {V_{B.{B_1}MN}} = \frac{1}{3}.{S_{\Delta {B_1}MN}}.B{B_1} = \frac{1}{3}.\frac{1}{4}{S_{\Delta {B_1}{A_1}{C_1}}}.B{B_1}\)

          \( = \frac{1}{{12}}{V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{1}{{12}}.\frac{1}{4}V = \frac{1}{{48}}V\).

+) \({V_3} = {V_{C.{C_1}NK}} = \frac{1}{3}.{S_{\Delta {C_1}NK}}.C{C_1} = \frac{1}{3}.\frac{1}{4}{S_{\Delta {C_1}{B_1}{A_1}}}.C{C_1}\)

          \( = \frac{1}{{12}}{V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{1}{{12}}.\frac{1}{4}V = \frac{1}{{48}}V\).

+) \(V = {S_{ABCD}}.A'A = 2{S_{\Delta BCD}}.A'A = 2.\frac{1}{2}.\left( {4a} \right).\left( {4a} \right).\sin 120^\circ .\left( {6a} \right) = 48{a^3}\sqrt 3 \).

Do đó, thể tích khối đa diện lồi ABCMNK là

\({V_{ABCMNK}} = \frac{1}{4}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} - \left( {{V_1} + {V_2} + {V_3}} \right)\)

          \( = \frac{1}{4}V - 3.\frac{1}{{48}}V = \frac{3}{{16}}V = \frac{3}{{16}}.48{a^3}\sqrt 3 = 9{a^3}\sqrt 3 \).

Vậy \({V_{ABCMNK}} = 9{a^3}\sqrt 3 \). Chọn C.