Gọi \(z = a + bi,\,\,a,b \in \mathbb{R}\) nên \(iz = ai - b,\,z + i\,z = a + bi - b + ai = a - b + \left( {a + b} \right)i\).

Ta gọi \(A\left( {a,b} \right),\,\,B\left( { - b,a} \right),\,C\left( {a - b,a + b} \right)\) lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z; iz và \(z + iz\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - b - a;a - b} \right),\,\overrightarrow {AC} = \left( { - b;a} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {a;b} \right)\).

Do đó \(AB = \sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( {a - b} \right)}^2}} ,\,AC = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,BC = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

\( \Rightarrow A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}\). Do đó \(\Delta ABC\) vuông cân tại C.

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AC.BC = \frac{1}{2}.\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 18\)\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 36 \Rightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 6 = \left| z \right|\). Chọn C.