Ta có A là giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\)

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{{z + 8}}{{ - 4}}\\x + z - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 0\end{array} \right.\).

Vậy điểm \(A\left( {1;2;0} \right)\).

Điểm B nằm trên đường thẳng AB nên điểm B có tọa độ \(B\left( {3 + t;4 + t; - 8 - 4t} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {t + 2;t + 2; - 8 - 4t} \right)\).

Theo giả thiết thì \(t + 3 > 0 \Leftrightarrow t > - 3\).

Do \(AB = 3\sqrt 2 \), ta có \({\left( {t + 2} \right)^2} + {\left( {t + 2} \right)^2} + 16{\left( {t + 2} \right)^2} = 18 \Rightarrow t = - 1\) nên \(B(2;3; - 4)\).

Theo giả thiết thì \(AC = AB\sin {60^o} = \frac{{3\sqrt 6 }}{2};BC = AB.\cos {60^o} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}C \in \left( \alpha \right)\\AC = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\\BC = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + c = 1\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {c^2} = \frac{{27}}{2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} + {\left( {c + 4} \right)^2} = \frac{9}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + c = 1\\2a + 2b - 8c = 33\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {c^2} = \frac{{27}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{2}\\b = 3\\c = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\).

Vậy \(C\left( {\frac{7}{2};3; - \frac{5}{2}} \right)\) nên \(a + b + c = 4\). Chọn C.