Ta có \(\left( {{S_1}} \right)\) và \(\left( {{S_2}} \right)\) có tâm và bán kính lần lượt là \({I_1}\left( {1;1;2} \right),\,{R_1} = 4\) và \({I_2}\left( { - 1;2; - 1} \right),\,{R_2} = 3\).

Mặt phẳng giao tuyến \(\left( P \right)\) của \(\left( {{S_1}} \right)\) và \(\left( {{S_2}} \right)\) có phương trình là:

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} - 16 = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} - 9\)

\( \Leftrightarrow - 2x - 2y - 4z - 10 = 2x - 4y + 2z - 3\)

\( \Leftrightarrow 4x - 2y + 6z + 7 = 0\).

Phương trình đường thẳng d đi qua \({I_1}\left( {1;1;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {4; - 2;6} \right)\) làm vectơ chỉ phương có dạng: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 1 - 2t\\z = 2 + 6t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt hai mặt cầu theo đường tròn giao tuyến có tâm \(J\) là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Tọa độ điểm \(J\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 1 - 2t\\z = 2 + 6t\\4x - 2y + 6z + 7 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 1 - 2t\\z = 2 + 6t\\4 + 16t - 2 + 4t + 12 + 36t + 7 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\y = \frac{7}{4}\\z = - \frac{1}{4}\\t = - \frac{3}{8}\end{array} \right.\).

Vậy \(J\left( { - \frac{1}{2};\frac{7}{4}; - \frac{1}{4}} \right)\). Chọn D.