Gọi M, N, P là các điểm thỏa mãn A, B, C lần lượt là trung điểm của MN, NP, PM.

Ta có \(BC//MN \Rightarrow BC//\left( {SMN} \right)\).

Mà \(SA \subset \left( {SMN} \right) \Rightarrow d\left( {BC,SA} \right) = d\left( {B,\left( {SMN} \right)} \right)\).

Ta có \(d\left( {B,\left( {SMN} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {P,\left( {SMN} \right)} \right)\) .

\[ \Rightarrow d\left( {P,\left( {SMN} \right)} \right) = \frac{{12a\sqrt {34} }}{{17}}\].

Dễ thấy \(d\left( {P,MN} \right) = 2d\left( {A,BC} \right) = \frac{{2.AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \frac{{24}}{5}a\).

Gọi \[\varphi = \left( {\left( {SMN} \right),\left( {MNP} \right)} \right)\].

Ta có \(\sin \varphi = \frac{{d\left( {P,\left( {SMN} \right)} \right)}}{{d\left( {P,MN} \right)}} = \frac{{5\sqrt {34} }}{{34}} \Rightarrow \cos \varphi = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\varphi } = \frac{{3\sqrt {34} }}{{34}} \Rightarrow \tan \varphi = \frac{5}{3}\).

Mặt khác ta có \(\tan \varphi = \frac{{SH}}{{d\left( {H,MN} \right)}} \Rightarrow d\left( {H,MN} \right) = \frac{3}{5}SH\).

Tương tự ta có \(d\left( {H,MP} \right) = \frac{2}{3}.SH,\,d\left( {H,NP} \right) = \frac{3}{4}.SH\)

Ta có \({S_{\Delta MNP}} = {S_{\Delta HMN}} + {S_{\Delta HNP}} + {S_{\Delta HMP}}\).

\( \Leftrightarrow MP.PN = \frac{3}{5}SH.MN + \frac{3}{4}SH.PN + \frac{2}{3}SH.MP\)

\( \Leftrightarrow 2AB.2AC = \frac{3}{5}SH.2BC + \frac{3}{4}SH.2AC + \frac{2}{3}SH.2AB\)

\( \Leftrightarrow 6a.8a = \frac{3}{5}SH.10a + \frac{3}{4}SH.8a + \frac{2}{3}SH.6a \Rightarrow SH = 3a\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{\Delta ABC}} = 6{a^3}\). Chọn D.