Gọi H là trung điểm của \(ID \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), qua I dựng đường thẳng \(\Delta \) song song với SH.

Suy ra \(\Delta \) là trục đường tròn ngoại tiếp ABCD. Gọi M là trung điểm của SD.

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), dựng đường trung trực của đoạn thẳng SD, cắt \(\Delta \) tại O.

Suy ra \(SO = OD\).

Mà \[OA = OB = OC = OD\] nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\).

Ta có ABCD là hình chữ nhật tâm I cạnh \(AB = 3a;\,BC = 4a\)nên

\(BD = \sqrt {A{D^2} + A{B^2}} = \sqrt {9{a^2} + 16{a^2}} = 5a\).

Mà I là trung điểm của BD nên \(DI = \frac{{5a}}{2}\).

Vì H là trung điểm DI nên \(BH = \frac{{15a}}{4};HI = \frac{{5a}}{4}\).

Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên HB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Do đó \(\left( {SB,\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SBH} = {45^o}\).

Xét \(\Delta SHB\) vuông tại H có \(\widehat {SBH} = {45^o}\) nên \(\Delta SHB\) vuông cân tại H.

\( \Rightarrow SH = HB = \frac{{15a}}{4}\).

Từ S dựng đường thẳng song song với BD, cắt \(\Delta \) tại G.

\( \Rightarrow SHIG\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow GI = \frac{{15a}}{4};SG = HI = \frac{{5a}}{4}\).

Đặt \[OI = x.\] Ta có \({R^2} = O{D^2} = O{I^2} + D{I^2} = \frac{{25{a^2}}}{4} + {x^2}\left( 1 \right)\) .

Lại có \(GO = GI - OI = \frac{{15a}}{4} - x\) .

Mà \({R^2} = S{O^2} = S{G^2} + G{O^2} = \frac{{25{a^2}}}{{16}} + {\left( {\frac{{15a}}{4} - x} \right)^2}\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1), (2) suy ra \(\frac{{25{a^2}}}{4} + {x^2} = \frac{{25{a^2}}}{{16}} + {\left( {\frac{{15a}}{4} - x} \right)^2} \Leftrightarrow x = \frac{{5a}}{4}\).

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là \[R = \sqrt {\frac{{25{a^2}}}{4} + {{\left( {\frac{{5a}}{4}} \right)}^2}} = \frac{{5\sqrt 5 }}{4}a\].

Suy ra diện tích mặt cầu cần tính là \(S = 4\pi {R^2} = \frac{{125\pi }}{4}{a^2}\) . Chọn B.