Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{e^x} \ge m\end{array} \right.\) .

Ta có \[\left( {\log _2^2x - {{\log }_2}\frac{{{x^3}}}{4}} \right)\sqrt {{e^x} - m} = 0\,\,\,\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\log _2^2x - {\log _2}\frac{{{x^3}}}{4} = 0\\\sqrt {{e^x} - m} = 0\end{array} \right.\]

+) \(\log _2^2x - {\log _2}\frac{{{x^3}}}{4} = 0 \Leftrightarrow \log _2^2x - 3{\log _2}x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 1\\{\log _2}x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.\) .

+) \(\sqrt {{e^x} - m} = 0 \Leftrightarrow {e^x} = m\).

Xét 3 trường hợp:

Trường hợp 1: \(m \le 0,\) điều kiện của phương trình là \(x > 0\), phương trình (1) có 2 nghiệm là \(x = 2\) và \(x = 4\).

Trường hợp 2: \(0 < m \le 1,\) điều kiện của phương trình là \(x > 0\).

Khi đó, phương trình \({e^x} = m\) có 1 nghiệm là \(x = \ln m \le 0\) nên phương trình (1) có 2 nghiệm là \(x = 2\) và \(x = 4.\)

Trường hợp 3: \(m > 1,\) từ \({e^x} \ge m \Rightarrow x \ge \ln m\).

Nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow 2 \le \ln m < 4 \Leftrightarrow {e^2} \le m < {e^4}\)

Khi đó phương trình đã cho có 2 nghiệm là \(x = \ln m\) và \(x = 4.\)

Suy ra, các giá trị m để phương trình có 2 nghiệm là \(m \le 1\) và \({e^2} \le m < {e^4}\).

Do đó các giá trị nguyên \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là

\(S = \left\{ { - 10; - 9; - 8; - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;8;9;10} \right\}\).

Vậy tổng các phần tử của S là – 27. Chọn C.