Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có: \(SA \cap (SBC) = \{ S\} \).

Trong mặt phẳng \((HBD)\), từ \(H\) kẻ \(HK \bot BD\) tại \(K\). (\(K\) là trung điểm của cạnh \(DO)\).

Trong mặt phẳng \((SHK)\), từ \(H\) kẻ \(HI \bot SK\) tại \(I\).

Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot HK}\\{BD \bot SH}\end{array} \Rightarrow BD \bot (SHK) \Rightarrow BD \bot HI} \right.\).

Mà \(HI \bot SK\) nên \(HI \bot (SBD)\).

Hay SI là hình chiếu vuông góc của SH lên mặt phẳng \((SBD)\).

Suy ra \((SH,(SBD)) = (SH,SI) = \widehat {ISH} = \widehat {KSH}\).

Vì \[\widehat {DAB} = 120^\circ \] suy ra \(\widehat {ADC} = 60^\circ \) mà AD = DC nên \(\Delta ADC\) đều.

Do đó \(AC = 2a\) suy ra \(AO = a\); \(HK = \frac{a}{2}\).

Vì \(\Delta SAD\) đều cạnh 2a nên đường cao \(SH = \frac{{2a.\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Xét tam giác SHK vuông tại \(H\), ta có:

\(\tan \widehat {KSH} = \frac{{HK}}{{SH}} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow \widehat {KSH} = \arctan \frac{{\sqrt 3 }}{6}\)

Vậy \((SH,(SBD)) \approx 16^\circ \).

Do đó ta điền đáp án như sau

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng 2a và \[\widehat {DAB} = {120^ \circ }.\] Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AD và tam giác SAD đều.