Gọi \({\rm{M}}\) là trung điểm của \({\rm{AB}}\). \(O,O'\) lần lượt là tâm 2 mặt đáy và I là tâm của hình trụ (trung điểm của \({\rm{OO'}}\)).

Thiết diện thu được là \({\rm{ABCD}}\) như hình vẽ, hợp với đáy một góc \(\alpha = \widehat {OM}I\).

Vì cung AB có số đo \(120^\circ \) nên \(\widehat {AOB} = 120^\circ \Rightarrow \widehat {AOM} = 60^\circ \).

Xét tam giác vuông AOM vuông tại \({\rm{M}}\) ta có: \(OM = OA.\cos 60^\circ = 6.\frac{1}{2} = 3\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OIM ta có:

\(MI = \sqrt {O{M^2} + O{I^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5.{\rm{ }}\)

Thiết diện thu được hợp với đáy một góc \(\alpha \) sao cho \(\cos \alpha = \frac{{OM}}{{IM}} = \frac{3}{5}\).

Gọi \(C',D'\) lần lượt là hình chiếu của \(C,D\)trên mặt phẳng đáy còn lại.

Khi đó hình phẳng giới hạn đường tròn đáy và nằm giữa hai dây cung \(AB\) và \(C'D'\)chính là hình chiếu của thiết diện trên mặt đáy.

Hình chiếu của thiết diện trên đáy là một phần của hình tròn, gồm 2 tam giác cân và 2 hình quạt, có diện tích bằng .

Suy ra \(\frac{{S'}}{S} = \frac{3}{5} \Rightarrow S = \frac{{5S'}}{3} = 20\pi + 30\sqrt 3 \).

Vậy \(a = 20,b = 30\) nên \(a + b = 50\). Chọn A.