\({\rm{Ta c\'o : }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)}\end{array} \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot SB.} \right.\)

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SBC) \cap (ABCD) = BC}\\{SB \subset (SBC),SB \bot BC}\\{AB \subset (ABCD),AB \bot BC}\end{array} \Rightarrow ((SBC),(ABCD)) = (SB,AB) = \widehat {SBA} = 60^\circ .} \right.\]

Gọi \({\rm{O}}\) là tâm hình chữ nhật \({\rm{ABCD}}\), I là trung điểm của \({\rm{SC}}\).

Ta có \({\rm{OI}}\) là đường trung bình của tam giác \({\rm{SAC}}\) nên \({\rm{OI}}//{\rm{SA}}\).

Mà \(SA \bot (ABCD)\) nên \(OI \bot (ABCD)\).

\( \Rightarrow IA = IB = IC = ID{\rm{. }}\)

Lại có tam giác \({\rm{SAC}}\) vuông tại \({\rm{A}}\) nên IS = IA = IC.

\( \Rightarrow IA = IB = IC = ID = IS \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD.

Xét tam giác vuông SAB có: \(SA = AB.\tan 60^\circ = a\sqrt 3 .\sqrt 3 = 3a\).

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(AC = \sqrt {{{(a\sqrt 3 )}^2} + {a^2}} = 2a\).

\( \Rightarrow SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {9{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt {13} .\)

Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD là \(R = IS = \frac{1}{2}SC = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}\).

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{13\sqrt {13} }}{6}\pi {a^3}\). Chọn A.