Mặt cầu \((S)\) có tâm \(O(0;0;0)\), bán kính \(R = \sqrt 3 \).

Giả sử \((P):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) với \(a > 0,b > 0,c > 0\). Mặt phẳng thỏa mãn đề bài khi và chỉ khi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} + {b^2} + {c^2} = 27}\\{\frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }} = \sqrt 3 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} + {b^2} + {c^2} = 27}\\{\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.} \right.\,\,(I)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương, ta có

\(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}.3\sqrt[3]{{\frac{1}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}}} = 9\).

Dấu “=” xảy ra khi \({a^2} = {b^2} = {c^2}\).

Do đó hệ \((I) \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} = {c^2} = 9 \Leftrightarrow a = b = c = 3\).

\( \Rightarrow A(3;0;0),B(0;3;0),C(0;0;3)\). Khi đó tam giác \({\rm{ABC}}\) đều và \(AB = 3\sqrt 2 \).

Vậy \({S_{ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\). Chọn B.