Ta có: \(f\left( x \right)\)là hàm bậc 3, đồ thị cắt Ox tại các điểm \(x = m\left( {0 < m < 1} \right)\) và tiếp xúc với trục Ox tại \(x = 2\).

Do đó \(f\left( x \right) = a.\left( {x - m} \right){\left( {x - 2} \right)^2}\left( {a > 0} \right)\).

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = 1\) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là \(x = 1;\)\(x = n\left( {1 < n < 2} \right)\)và \(x = p\left( {p > 2} \right)\).

Do đó phương trình \(f\left( x \right) - 1 = 0\) có các nghiệm là \(x = 1;x = n\left( {1 < n < 2} \right);x = p\left( {p > 2} \right)\).

Ta được \(f\left( x \right) - 1 = a\left( {x - 1} \right)\left( {x - n} \right)\left( {x - p} \right)\).

Từ đó ta có \(g\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\sqrt {x - 1} }}{{x\left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\sqrt {x - 1} }}{{x.f\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) - 1} \right]}}\)

\( = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\sqrt {x - 1} }}{{x.{a^2}.\left( {x - m} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)\left( {x - n} \right)\left( {x - p} \right)}}\).

Ta có tập xác định của hàm \(g\left( x \right)\) là \(D = \left( {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ {n;2;p} \right\}\).

Từ hàm \(g\left( x \right)\) ta được đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) có ba tiệm cận đứng:

\(x = n\left( {1 < n < 2} \right),x = 2,x = p\left( {p > 2} \right)\). Chọn B.