Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Cách 1:

Từ giả thiết suy ra $f (1 - x) + \frac{2}{x^{2}} f (\frac{2 x - 2}{x}) = \frac{- x^{4} + x^{3} + 4 x - 4}{x^{3}}$

Ta có: ${\int^{}}_{1}^{2} f (1 - x) d x + {\int^{}}_{1}^{2} f (\frac{2 x - 2}{x}) . \frac{2}{x^{2}} d x = {\int^{}}_{1}^{2} \frac{- x^{4} + x^{3} + 4 x - 4}{x^{3}} d x$

$\Leftrightarrow - {\int^{}}_{1}^{2} f (1 - x) d (1 - x) + {\int^{}}_{1}^{2} f (\frac{2 x - 2}{x}) d (\frac{2 x - 2}{x}) = 0$

$\Leftrightarrow - {\int^{}}_{0}^{- 1} f (t) d t + {\int^{}}_{0}^{1} f (t) d t = 0$

$\Leftrightarrow {\int^{}}_{- 1}^{0} f (t) d t + {\int^{}}_{0}^{1} f (t) d t = 0 \Leftrightarrow {\int^{}}_{- 1}^{1} f (t) d t = 0$

Vậy ${\int^{}}_{- 1}^{1} f (x) d x = 0$ .

Cách 2:

Ta có: $x^{2} f (1 - x) + 2 f (\frac{2 x - 2}{x}) = \frac{- x^{4} + x^{3} + 4 x - 4}{x}, \forall x \neq 0, x \neq 1$

$\Leftrightarrow x^{2} f (1 - x) + 2 f (\frac{2 x - 2}{x}) = \frac{- x^{4} + x^{3}}{x} + \frac{4 x - 4}{x}, \forall x \neq 0, x \neq 1 \Leftrightarrow x^{2} f (1 - x) + 2 f (\frac{2 x - 2}{x}) = x^{2} (1 - x) + 2 (\frac{2 x - 2}{x}), \forall x \neq 0, x \neq 1$

Chọn $f (x) = x \Rightarrow {\int^{}}_{- 1}^{1} f (x) . d x = {\int^{}}_{- 1}^{1} x . d x = 0$ .

...Xem thêm

Answer 2