Một xe dịch vụ chất lượng cao đi từ Hà Giang xuống Hà Nội chở được nhiều nhất 50 hành khách trên một chuyến đi. Theo tính toán của nhà xe, nếu xe chở được k khách thì giá tiền mà mỗi khách phải trả khi đi tuyến đường này là \({\left( {180 - \frac{{3k}}{2}} \right)^2}\) trăm đồng. Tổng số tiền thu được từ hành khách nhiều nhất là 57600 nghìn đồng khi xe chở 40 hành khách.

Giải thích

Số tiền thu được trên mỗi chuyến xe là \(T(k) = k{\left( {180 - \frac{{3k}}{2}} \right)^2}\) với \(k \in \mathbb{N},0 \le k \le 50\).

Xét hàm số \(T(k) = k{\left( {180 - \frac{{3k}}{2}} \right)^2}\) với \(k \in [0;50]\).

Ta có \(T'(k) = {\left( {180 - \frac{{3k}}{2}} \right)^2} + 2k\left( {180 - \frac{{3k}}{2}} \right)\left( { - \frac{3}{2}} \right) = \left( {180 - \frac{{3k}}{2}} \right)\left( {180 - \frac{{9k}}{2}} \right)\) và

\(T'(k) = 0 \Leftrightarrow \left( {180 - \frac{{3k}}{2}} \right)\left( {180 - \frac{{9k}}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = 120 \notin [0;50]}\\{k = 40 \in [0;50]}\end{array}} \right.\).

Ta tính được \(T(0) = 0,T(50) = 551250,T(40) = 576000\).

Do đó \(\mathop {\max }\limits_{[0;50]} T(k) = T(40) = 576000\).

Vậy số tiền thu được nhiều nhất khi xe chở 40 hành khách và số tiền đó là 57 600 000 đồng.