Kiểm tra và hoàn thiện đoạn cuối tìm Min $P$:
Ta đang có biểu thức:

$P = \frac{3y^2 - y + 3}{1 + 3y}$
với điều kiện $0 < y < \frac{3}{2}$.

Để tách phân thức sao cho triệt tiêu được biến $y$ khi dùng Cauchy, ta thực hiện chia đa thức hoặc tách hệ số khéo léo theo $(1 + 3y)$: Ta muốn tử xuất hiện một biểu thức tỉ lệ thuận với $(1 + 3y)^2$ hoặc nhóm gọn. Cách tách chuẩn xác để dùng Cauchy rơi vào điểm rơi $y = \frac{\sqrt{11}-1}{3}$ như sau:

Biến đổi tử số theo mẫu $3y + 1$: Ta có thể nhân hệ số hoặc tách trực tiếp:

$9P = \frac{27y^2 - 9y + 27}{1 + 3y}$
Ta phân tích tử số theo $(3y+1)$:

$27y^2 - 9y + 27 = (3y+1)(9y - 6) + 33$
(Thử lại: $(3y+1)(9y-6) + 33 = 27y^2 - 18y + 9y - 6 + 33 = 27y^2 - 9y + 27$ (Chuẩn xác!))

Do đó:

$9P = \frac{(3y+1)(9y - 6) + 33}{1 + 3y} = (9y - 6) + \frac{33}{1 + 3y}$
Để xuất hiện dạng mất biến $y$, ta thêm bớt cho cụm $9y - 6$ thành $3(3y+1)$ hoặc gom trực tiếp với mẫu $3y+1$:

$9P = 3(3y + 1) + \frac{33}{3y + 1} - 9$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương $3(3y+1)$ và $\frac{33}{3y+1}$:

$3(3y + 1) + \frac{33}{3y + 1} \ge 2\sqrt{3(3y + 1) \cdot \frac{33}{3y + 1}} = 2\sqrt{99} = 6\sqrt{11}$
Suy ra:

$9P \ge 6\sqrt{11} - 9 \implies P \ge \frac{6\sqrt{11} - 9}{9} = \frac{2\sqrt{11} - 3}{3}$
Tổng kết giá trị tối ưu:
Min $P = \frac{2\sqrt{11} - 3}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi:

$3(3y + 1) = \frac{33}{3y + 1} \implies (3y + 1)^2 = 11 \implies 3y + 1 = \sqrt{11} \implies y = \frac{\sqrt{11} - 1}{3}$