Thể tích của khối tròn xoay sinh khi cho phần tô đậm (hình vẽ) quay quanh đường thẳng AD bằng thể tích hình cầu đường kính AD trừ đi thể tích hình nón tạo bởi khi quay tam giác ABC quanh trục AD.

Tính thể tích hình cầu đường kính AD:

Tam giác \({\rm{ABC}}\) đều, cạnh \({\rm{a}} \Rightarrow OA = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} = R\).

Suy ra: \({V_1} = \frac{4}{3}\pi .{R^3} = \frac{4}{3}\pi .{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^3} = \frac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\).

Tính thể tích hình nón (H) tạo bởi khi quay tam giác ABC quanh trục AH:

Hình nón \(({\rm{H}})\) có đường cao \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = h\), bán kính đáy \(HB = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2} = r\).

Suy ra \({V_2} = \frac{1}{3}\pi {r^2}.h = \frac{1}{3}\pi .{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).

Vậy thể tích cần tính là: \(V = {V_1} - {V_2} = \frac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{27}} - \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}} = \frac{{23\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{216}}\). Chọn C.