Với \(m = 1\) thì \(y = 1\) do đó \(m = 1\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với \(m > 1\) khi đó \(y = \frac{{x + m}}{{x + 1}} = 1 + \frac{{m - 1}}{{x + 1}}\)

Do\(x \in [1;2] \Rightarrow 1 \le x \le 2 \Rightarrow \frac{1}{{1 + 2}} \le \frac{1}{{x + 1}} \le \frac{1}{{1 + 1}} \Rightarrow \frac{{m - 1}}{3} \le \frac{{m - 1}}{{x + 1}} \le \frac{{m - 1}}{2}\)

Vì vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = 1 + \frac{{m - 1}}{2};\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = 1 + \frac{{m - 1}}{3}\).

Do đó\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y + \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = \left( {1 + \frac{{m - 1}}{3}} \right) + \left( {1 + \frac{{m - 1}}{2}} \right) = \frac{{16}}{3} \Leftrightarrow \frac{{5(m - 1)}}{6} = \frac{{16}}{3} - 2 \Leftrightarrow m = 5 > 4\)

Nếu \({\rm{m}} < 1\) lý luận tương tự ta cũng có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} = 1 + \frac{{m - 1}}{3};\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = 1 + \frac{{m - 1}}{2}\).

Trong trường hợp này không tồn tại giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.