Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}a = x\\{\log _2}b = y\\{\log _2}c = z\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {2^x}\\b = {2^y}\\c = {2^z}\end{array} \right.\).

Khi đó \(P = {\left( {{2^x}} \right)^3} + {\left( {{2^y}} \right)^3} + {\left( {{2^z}} \right)^3} - 3\left( {x{{.2}^x} + y{{.2}^y} + z{{.2}^z}} \right)\) trong đó \({x^3} + {y^3} + {z^3} \le 1\) và \(x,y,z \in \left[ {0;1} \right].\)

Dễ dàng chứng minh được \({2^x} \le x + 1,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = 0\) hoặc \(x = 1.\)

Suy ra \({\left( {{2^x} - x} \right)^3} \le 1 \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^3} \le 3.{\left( {{2^x}} \right)^2}.x - {3.2^x}.{x^2} + {x^3} + 1\)

\( \Rightarrow {\left( {{2^x}} \right)^3} - 3x{.2^x} \le 3.x{.2^x}\left( {{2^x} - x - 1} \right) + {x^3} + 1 \le {x^3} + 1\).

Tương tự \({\left( {{2^y}} \right)^3} - 3y{.2^y} \le {y^3} + 1;{\left( {{2^z}} \right)^3} - 3z{.2^z} \le {z^3} + 1\).

Từ đó suy ra \(P \le \left( {{x^3} + 1} \right) + \left( {{y^3} + 1} \right) + \left( {{z^3} + 1} \right) \le 4\).

Dấu “=” xảy ra khi trong ba số \(x,y,z\) có một số bằng 1 và hai số còn lại bằng 0. Chọn C.