Giai đoạn 1: Xe bắt đầu chuyển động đến khi gặp chướng ngại vật.

Quãng đường xe đi được là:

\[{S_1} = \int\limits_0^{12} {{v_1}\left( t \right)dt = } \int\limits_0^{12} {2tdt = {t^2}\left| \begin{array}{l}^{12}\\_0^{}\end{array} \right.} = 144\left( m \right)\].

Giai đoạn 2: Xe gặp chướng ngại vật đến khi dừng hẳn.

Ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \[{v_2}\left( t \right) = \smallint a\left( t \right)dt = - 12t + c\].

Vận tốc của xe khi gặp chướng ngại vật là: \[{v_2}\left( 0 \right) = {v_1}\left( {12} \right) = 2.12 = 24\left( {m/s} \right)\]

\[ \Rightarrow - 12.0 + c = 24 \Rightarrow c = 24 \Rightarrow {v_2}\left( t \right) = - 12t + 24\].

Thời gian khi xe gặp chướng ngại vật đến khi xe dừng hẳn là nghiệm phương trình:

\[ - 12t + 24 = 0 \Leftrightarrow t = 2\].

Khi đó, quãng đường xe đi được là: \[{S_2} = \int\limits_0^2 {{v_2}\left( t \right)dt} = \int\limits_0^2 {\left( { - 12t + 24} \right)dt} = \left( { - 6{t^2} + 24t} \right)\left| \begin{array}{l}^2\\_0^{}\end{array} \right. = 24\left( m \right)\].

Vậy tổng quãng đường xe đi được là: \(S = {S_1} + {S_2} = 144 + 24 = 168\) (m). Chọn A.