Cho \(({\rm{H}})\) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \({\rm{y}} = \sqrt 3 {{\rm{x}}^2}\), cung tròn có phương trình \({\rm{y}} = \sqrt {4 - {{\rm{x}}^2}} \) (với \(0 \le x \le 2\) ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Diện tích của (H) bằng
Quảng cáo
1 câu trả lời 31
Phương pháp giải
- Tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị
- Sử dụng phương pháp đổi biến để tính diện tích.
Tính diện tích hình phẳng khi biết hai đường giới hạn
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol và cung tròn ta được
\(\sqrt 3 {x^2} = \sqrt 4 - {x^2} \Leftrightarrow x = \pm 1\) với \(0 \le x \le 2\) nên ta có \(x = 1\)
Ta có diện tích:
\(S = \int_0^1 {\sqrt 3 } {x^2}dx + \int_1^2 {\sqrt {4 - {x^2}} } dx = \left. {\frac{{\sqrt 3 }}{3}{x^3}} \right|_0^1 + \int_1^2 {\sqrt {4 - {x^2}} } dx = \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \int_1^2 {\sqrt {4 - {x^2}} } dx\)
Đặt: \(x = 2\sin t \Rightarrow dx = 2\cos tdt;\,\,x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{6};x = 2 \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}\)
\( \Rightarrow S = \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \left. {2\left( {t + \frac{1}{2}\sin 2t} \right)} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} = \frac{{4\pi - \sqrt 3 }}{6}\)
Quảng cáo
Bạn cần hỏi gì?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Đã trả lời bởi chuyên gia
106441 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
95860 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
74201

