Gọi \(z = x + yi\)\(\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\), khi đó:

\[\left( {z + i} \right)\left( {\bar z + 3i} \right)\]

\[ = \left[ {x + \left( {y + 1} \right)i} \right].\left[ {x - \left( {y - 3} \right)i} \right]\]

\[ = {x^2} + \left( {y + 1} \right)\left( {y - 3} \right) + \left[ {x\left( {y + 1} \right) - x\left( {y - 3} \right)} \right]i\] là số thuần ảo.

Suy ra \({x^2} + \left( {y + 1} \right)\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\) (*)

Gọi

Và A, B thuộc đường tròn tâm \(I\left( {0;1} \right)\) và bán kính R = 2.

Xét điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \) (**)

Khi đó: \({\rm{P}} = \left| {{{\rm{z}}_1} + 2{{\rm{z}}_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {{\rm{OA}}} + 2\overrightarrow {{\rm{OB}}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{\rm{OM}}} + \overrightarrow {{\rm{MA}}} + 2(\overrightarrow {{\rm{OM}}} + \overrightarrow {{\rm{MB}}} )} \right| = 3\left| {\overrightarrow {{\rm{OM}}} } \right| = 3{\rm{OM}}\).

Gọi \({\rm{H}}\) là trung điểm của \({\rm{AB}}\), khi đó với (**), suy ra:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{MH}} = {\rm{BH}} - {\rm{BM}} = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}}\\{{\rm{IH}} = \sqrt {{\rm{I}}{{\rm{B}}^2} - {\rm{H}}{{\rm{B}}^2}} = \sqrt {{2^2} - {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 7 }}{2}}\end{array}\quad \Rightarrow {\rm{IM}} = \sqrt {{\rm{M}}{{\rm{H}}^2} + {\rm{I}}{{\rm{H}}^2}} = \sqrt 2 } \right.\).

Suy ra \({\rm{M}}\) thuộc đường tròn tâm \({\rm{I}}(0;1)\), bán kính \({\rm{r}} = \sqrt 2 \).

Khi đó: \({{\rm{P}}_{\min }} = 3{\rm{O}}{{\rm{M}}_{\min }} = 3{\rm{OC}} = 3({\rm{OI}} + {\rm{r}}) = 3(1 + \sqrt 2 ) = 3 + 3\sqrt 2 \). Chọn B.