Cho tứ diện đều cạnh \(a\) và điểm \(I\) bất kì nằm trong tứ diện. Tổng khoảng cách từ \(I\) đến các mặt của tứ diện bằng
Quảng cáo
1 câu trả lời 3

Giả sử ta có tứ diện đều như hình vẽ.
Ta có \(AH = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)
\(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Ta có \({V_{SABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\) .
Mặt khác, \[{V_{SABC}} = {V_{ISAB}} + {V_{IABC}} + {V_{ISAC}} + {V_{ISBC}}\]
\( = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.[d(I;(SAB)) + d(I;(ABC)) + d(I;(SAC)) + d(I;(SBC))]\)
\( \Leftrightarrow d(I;(SAB)) + d(I;(ABC)) + d(I;(SAC)) + d(I;(SBC)) = \frac{{3{V_{SABC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{3.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)
Quảng cáo
Bạn cần hỏi gì?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Đã trả lời bởi chuyên gia
106441 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
95860 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
74201

