Tam giác OMN vuông tại \(O\) nên ta có \(O{M^2} + O{N^2} = M{N^2} = {S^2}\) với \(S\) là khoảng cách giữa hai chất điểm.

Tại thời điểm \(t = {t_0}\) thì khoảng cách đạt giá trị nhỏ nhất \({S_{\min }}\), khi đó ta có:

- Quãng đường mà chất điểm \(M\) đi được là \(0,4.{t_0} \Rightarrow OM = 10 - 0,4{t_0}\)

- Quãng đường mà chất điểm \(N\) đi được là \(0,3.{t_0} \Rightarrow ON = 12 - 0,3{t_0}\)

Vậy \({S_{\min }} = \sqrt {{{\left( {10 - 0,4{t_0}} \right)}^2} + {{\left( {12 - 0,3{t_0}} \right)}^2}} \)

Xét \(f(t) = {(10 - 0,4t)^2} + {(12 - 0,3t)^2}\)

Ta có \({f^\prime }(t) = 2(10 - 0,4t)\).\(( - 0,4) + 2(12 - 0,3t)( - 0,3)\)

\( =  - 8 + 0,32t - 7,2 + 0,18t\)

\( =  - 15,2 + 0,5t\)

\({f^\prime }(t) = 0 \Leftrightarrow t = 30,4(s)\)

Ta có \(f(0) = 224;f(30,4) = 12,96;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) =  + \infty \)

Vậy \(f(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(t = 30,4(s)\)

Khoảng cách nhỏ nhất là \({S_{\min }} = \sqrt {{{(10 - 0,4.30,4)}^2} + {{(12 - 0,3.30,4)}^2}}  = 3,6\,\,({\rm{m}})\).