Quảng cáo
1 câu trả lời 3
Phương pháp giải
- Đặt \(t = {\log _a}b\), biến đổi x, y và \(P\) theo \(t\).
- Sử dụng bất đẳng thức Cauchy.
Lời giải
Đặt \(t = {\log _a}b\). Vì \(a,b > 1\) nên \(t > 0\).
Ta có: \({a^x} = \sqrt {ab} \Rightarrow x = {\log _a}\sqrt {ab} = \frac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right) = \frac{1}{2}(1 + t)\).
\({b^y} = \sqrt {ab} \Rightarrow y = {\log _b}\sqrt {ab} = \frac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_b}a} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{1}{t}} \right)\).
Vậy \(P = x + 2y = \frac{1}{2}(1 + t) + 1 + \frac{1}{t} = \frac{3}{2} + \frac{t}{2} + \frac{1}{t} \ge \frac{3}{2} + \sqrt 2 \).
Dấu đắng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{t}{2} = \frac{1}{t} \Leftrightarrow b = {a^{\sqrt 2 }}\).
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + 2y\) bằng \(\frac{3}{2} + \sqrt 2 \) thuộc nửa khoảng \(\left[ {\frac{5}{2};3} \right)\).
Chọn D
Quảng cáo
Bạn cần hỏi gì?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Đã trả lời bởi chuyên gia
106441 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
95860 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
74201

