Xét hàm số \({\rm{f}}({\rm{x}}) = {(1 + {\rm{x}})^{2{\rm{n}} + 1}}\). Theo công thức khai triển nhị thức Newton:

\(f(x) = {(1 + x)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1x + C_{2n + 1}^2{x^2} + \ldots + C_{2n + 1}^{2n}{x^{2n}} + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}\).

Từ đó ta có:

\(\begin{array}{l}f(1) = {2^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n + 1}\,\,\,(1)\\f( - 1) = 0 = C_{2n + 1}^0 - C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 - \ldots + C_{2n + 1}^{2n} - C_{2n + 1}^{2n + 1}\,\,\,\,\,\,(2)\end{array}\)

Cộng từng vế của (1) và (2) ta có: \({2^{2n + 1}} = 2\left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n}} \right)\) (3)

Từ \((3)\) và giả thiết suy ra \({2^{2n + 1}} = 2.1024 \Leftrightarrow {2^{2n + 1}} = {2^{11}} \Leftrightarrow {\rm{n}} = 5\).

Bài toán trở thành tìm hệ số của \({x^8}\) trong khai triển thành đa thức của \({(3 - 2x)^{10}}\).

Ta có \({(3 - 2{\rm{x}})^{10}} = \sum\limits_{{\rm{k}} = 0}^{10} {{\rm{C}}_{10}^{\rm{k}}} {.3^{10 - {\rm{k}}}}.{( - 2{\rm{x}})^{\rm{k}}} = \sum\limits_{{\rm{k}} = 0}^{10} {{\rm{C}}_{10}^{\rm{k}}} {.3^{10 - {\rm{k}}}}.{( - 2)^{\rm{k}}}{\rm{.}}{{\rm{x}}^{\rm{k}}}\)

Do đó hệ số của \({x^8}\) ứng với \(k = 8\) là \(C_{10}^8{.3^{10 - 8}}.{( - 2)^8} = 103680\). Chọn B.