Áp dụng định lí Pytago ta có: \({\rm{DH}} = \sqrt {{\rm{A}}{{\rm{D}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{H}}^2}} = \sqrt {{{16}^2} - {{\rm{x}}^2}} = {\rm{CK}}\).

\( \Rightarrow {\rm{DC}} = 16 + 2\sqrt {{{16}^2} - {{\rm{x}}^2}} \).

Khi đó diện tích hình thang là:

\({\rm{S}} = \frac{1}{2}\left( {16 + 16 + 2\sqrt {{{16}^2} - {{\rm{x}}^2}} } \right){\rm{x}} = 16{\rm{x}} + {\rm{x}}\sqrt {{{16}^2} - {{\rm{x}}^2}} \).

Xét hàm số \({\rm{f}}({\rm{x}}) = 16{\rm{x}} + {\rm{x}}\sqrt {{{16}^2} - {{\rm{x}}^2}} \) với \(0 < {\rm{x}} < 16\).

Ta có: \(f'(x) = 16 + \frac{{{{16}^2} - 2{x^2}}}{{\sqrt {{{16}^2} - {x^2}} }}\).

Khi đó \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 16 + \frac{{{{16}^2} - 2{x^2}}}{{\sqrt {{{16}^2} - {x^2}} }} = 0\).

\( \Leftrightarrow 16\sqrt {{{16}^2} - {x^2}} + {16^2} - 2{x^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} - {16^2} = 16\sqrt {{{16}^2} - {x^2}} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} - {{16}^2} \ge 0}\\{4{x^4} - 1024{x^2} + {{16}^4} = {{16}^2}\left( {{{16}^2} - {x^2}} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} - {{16}^2} \ge 0}\\{4{x^4} - 768{x^2} = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 8\sqrt 2 \\x \le - 8\sqrt 2 \end{array} \right.\\{x^2} - 192 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow x = 8\sqrt 3 \) .

Bảng biến thiên

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn là \(192\sqrt 3 \;{m^2}\). Chọn D.