Phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{{x + 3}}{{x + 1}} = 2x + m\,\,\,(x \ne - 1)\)

\( \Rightarrow 2{{\rm{x}}^2} + ({\rm{m}} + 1){\rm{x}} + {\rm{m}} - 3 = 0\quad ({\rm{x}} \ne - 1)\) (1).

Đường thẳng \({\rm{d}}\) cắt đồ thị \(({\rm{C}})\) tại hai điểm phân biệt \({\rm{M}},{\rm{N}}\) khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2} \ne - 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta = {m^2} - 6m + 25 > 0}\\{2.{{( - 1)}^2} + (m + 1)( - 1) + m - 3 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \forall m \in \mathbb{R}} \right.\).

Gọi \({\rm{M}}\left( {{{\rm{x}}_1};2{{\rm{x}}_1} + {\rm{m}}} \right)\) và \({\rm{N}}\left( {{{\rm{x}}_2};2{{\rm{x}}_2} + {\rm{m}}} \right)\) thuộc \({\rm{d}}\).

Theo Định lí Viét ta có \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = - \frac{{{\rm{m}} + 1}}{2};{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{{{\rm{m}} - 3}}{2}\).

Ta có \({\rm{M}}{{\rm{N}}^2} = {\left( {{{\rm{x}}_2} - {{\rm{x}}_1}} \right)^2} + {\left( {2{{\rm{x}}_2} - 2{{\rm{x}}_1}} \right)^2} = 5\left[ {{{\left( {{{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}} \right)}^2} - 4{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2}} \right]\)

\( = \frac{5}{4}\left( {{m^2} - 6m + 25} \right) = \frac{5}{4}.\left[ {{{(m - 3)}^2} + 16} \right] \ge 20.\)

Dấu “=” xảy ra khi \(m = 3\).

Vậy \({\rm{MN}}\) nhỏ nhất bằng khi \({\rm{m}} = 3 \Rightarrow {\rm{m}} \in \left[ {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\). Chọn C.