Bạn An có một cốc hình nón có đường kính đáy là 10 cm và độ dài đường sinh là 8 cm. Bạn dự định đựng một viên bi hình cầu sao cho toàn bộ viên bi nằm trong cốc (không phần nào của viên bi cao hơn miệng cốc). Hỏi bạn An có thể đựng được viên bi có đường kính lớn nhất bằng bao nhiêu?

A. \(\frac{{32}}{{\sqrt {39} }}\;{\rm{cm}}\).
Quảng cáo
1 câu trả lời 22

Viên bi có đường kính lớn nhất khi và chỉ khi viên bi tiếp xúc với tất cả các mặt bên trong của hình nón.
Ta xét mặt cắt khối nón bởi một mặt phẳng qua trục của khối nón:
Nhận xét: Bán kính viên bi khi đó bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác cân SAB.
Gọi H là trung điểm AB.
Xét \(\Delta SHA\)vuông tại \(H\), ta có: \(SH = \sqrt {S{A^2} - H{A^2}} = \sqrt {{8^2} - {5^2}} = \sqrt {39} \)cm.
Diện tích \(\Delta SAB\) là \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}SH.AB = \frac{1}{2}.\sqrt {39} .10 = 5\sqrt {39} \) cm2.
Mặt khác \({S_{\Delta ABC}} = pr = \frac{{8 + 8 + 10}}{2}.r = 5\sqrt {39} \Rightarrow r = \frac{{5\sqrt {39} }}{{13}}\) cm.
Suy ra đường kính của viên bi là \(d = 2r = \frac{{10\sqrt {39} }}{{13}}\) cm. Chọn C.
Quảng cáo
Bạn cần hỏi gì?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Đã trả lời bởi chuyên gia
106441 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
95860 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
74201

