Điều kiện \[{x^2} + 4x + 2 + m > 0\].

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _5}\left( {{x^2} + 2x + 3} \right) > {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + 2 + m} \right) - 1\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} + 2x + 3} \right) + {\log _5}5 > {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + 2 + m} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left[ {5\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)} \right] > {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + 2 + m} \right)\\ \Leftrightarrow 5\left( {{x^2} + 2x + 3} \right) > {x^2} + 4x + 2 + m\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + 6x + 13 - m > 0\end{array}\)

Vì \(\left( {1;2} \right) \subset S\) nên bài toán trở thành tìm \({\rm{m}}\) nguyên để hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 4x + 2 + m > 0}\\{4{x^2} + 6x + 13 - m > 0}\end{array}} \right.\) nghiệm đúng với mọi \(x \in (1;2)\)

Tương đương với hai bất phương trình: \({x^2} + 4x + 2 + m > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in (1;2)\) và bất phương trình \(4{x^2} + 6x + 13 - m > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in (1;2)\)

Ta xét \({x^2} + 4x + 2 + m > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in (1;2)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow m > - {x^2} - 4x - 2\forall x \in (1;2)\\ \Leftrightarrow m > \mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{{\rm{[}}1;2]} \left( { - {x^2} - 4x - 2} \right)\\ \Leftrightarrow m > - 7\end{array}\)

Tương tự với \(4{x^2} + 6x + 13 - m > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in (1;2)\)

Ta có \(m < 4{x^2} + 6x + 13\forall x \in (1;2)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow m < \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left( {4{x^2} + 6x + 13} \right)\\ \Leftrightarrow m < 23\end{array}\)

Vậy \( - 7 < m < 23\)

Vì m nguyên nên m là các số nguyên thỏa mãn \( - 6 \le m \le 22\).

Do đó có 29 số nguyên thỏa mãn. Chọn B.